Знаходження похідної - ланцюгове правило
Крок 1: Складена функція - одна зовнішня та одна внутрішня
Для того, щоб знайти похідну складеної функції потрібно розуміти,
що таке ця складена функція?
Це функція у якої аргументом є не просто x, а інша, складніша функція. Наприклад, аргументом функції
\[y=\color{blue}{cos(}\color{green}{x^2}\color{blue}{)} \]
є функція $y=\color{green}{х^2}$.
Так от функцію, яка містить іншу функцію (а не просто x) як аргумент ми назвемо зовнішньою. Тут це косинус.
А функцію, яка є аргументом назвемо внутрішньою - тут це $\color{green}{x^2}$.
Аргументом функції $y=ln(х^3+2х +5)$
є $y=х^3+2х +5$. Логарифм функція зовнішня, $х^3+2х +5$ - внутрішня.
Такі функції ми називаємо складеними.
Як знайти похідну складеної функції?
🎓 Правило: Похідною складеної функції є
добуток похідної зовнішньої функції та похідної внутрішньої функції.
Наприклад, маймо функцію:
\[y'=(\color{blue}{cos}(\color{green}{x^2}))'=? \]
- зовнішня функція як ми визначили вище -
це косинус, її похідна це мінус синус (див. таблиця похідних),
тобто $\color{blue}{-sin(x^2)}$ (аргумент залишається)
-тепер, внутрішня функція - це $x^2$,
і її похідна це $\color{green}{2х}$.
Тому:
\[(cos(x^2))'=\color{blue}{-sin(x^2)}\cdot \color{green}{2x} \]
Важливо!
З попереднього прикладу ви бачите, що щоб знайти похідну будь-якої складеної функції достатньо визначити зовнішню та внутрішню функції
та знати їх похідні (див. таблиця похідних).
Попрактикуємося разом
Визначте зовнішню та внутрішню функції та знайдіть похідну:
1. cos(8x)
зовнішня: cos()
- чому ми написали пусті дужки? Щоб акцентувати, що зовнішня функція це саме косинус
- її похідна це мінус синус $-sin(8x)$ - аргумент $8x$ залишається
внутрішня: $8x$, і її похідна 8
накінець похідною cos(8x) є добуток похідних:
$cos'(8x)=-sin(8x)\cdot 8$
2. sin(5x+2)
зовнішня: sin()
i похідна cos(5x+2)
внутрішня: $5x+2$ - тому що $5х +2$ це аргумент косинусу
i похідна 5
накінець похідною цієї складеної функції є:
$(sin(5x+2))'=5\cdot cos(5x+2)$
Тепер декілька прикладів для вас.
Визначте зовнішню та внутрішню функції та знайдіть похідні:
1) $cos(10x-5)$
2 ) $sin(15x)$
3) $sin(x-9)$
Рішення можете перевірити в самому низу.
Продовжимо вирішувати приклади:
3. $\sqrt{x^2+x+1}$
зовнішня: $\sqrt()$ - це квадратний корінь, тому що ми беремо квадратний корінь аргументу
внутрішня: $x^2+x+1$ - те з чого беремо квадратний корінь
похідна зовнішньої функції: ми знаємо, що похідна квадратного кореня $(\sqrt{x})'$ це
$\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$ але аргументом квадратного кореня тут виступає $x^2+x+1$,
тому похідною зовнішньої функції буде $\frac{1}{2}(x^2+x+1)^{-\frac{1}{2}}$
похідна внутрішньої функції: $(x^2+x+1)'=2x+1$
накінець похідна складеної функції:
$(\sqrt{x^2+x+1})'=\frac{1}{2}\frac{2x+1}{(x^2+x+1)^{\frac{1}{2}}}$
Потренуємо знаходження зовнішньої
та внутрішньої функцій перед тим, як знаходити складніші похідні.
Визначимо зовнішню та внутрішню функції разом:
4. $(5x+11)^2$
зовнішня: $()^2$ - квадрат аргумента
внутрішня: $5x+11$
5. $(5x^2+11)^{\frac{3}{2}}$
зовнішня: $()^\frac{3}{2}$
внутрішня: $5x^2+11$
Декілька прикладів для вас:
4) $(x^3-2x)^2$
5 ) $\sqrt{x^5-1}$
Рішення можете звірити в самому низу.
6. $\frac{1}{2}\sqrt{-x-3}$
як ви вважаєте?
→ тут ми маємо добуток
двох функцій (!) - константи $\frac{1}{2}$ та складеної функції $\sqrt{-x-3}$
зовнішньою функцією є квадратний корінь: $\sqrt{()}$
внутрішньою: $-x-3$
7. $\frac{1}{4}ln(x^4)$
як ви вважаєте?
→ тут ми маємо добуток
двох функцій - константи $\frac{1}{4}$ та складеної функції $ln(x^4)$
зовнішня: $ln()$
внутрішня: $x^4$
8. $e^{x^3+5}$
як ви вважаєте?
зовнішня: $e^{()}$
внутрішня: $x^3+5$
9. $\frac{1}{5x}$
це те саме, що $\frac{1}{5x}=(5x)^{-1}$
зовнішня: $()^{-1}$ → аргумент ми підносимо в мінус першу степінь
внутрішня: $5x$
10. $\frac{3}{4x}$
це те саме, що $\frac{3}{4x}=3\cdot (4x)^{-1}$ - добуток двох функцій - константи 3 та складеної функції ${(4x)}^{-1}$
зовнішня: $ ()^{-1}$
внутрішня: $4x$
11. $\frac{2}{3x^2}$
це те саме, що $\frac{2}{3x^2}=2\cdot (3x^2)^{-1}$, де складена функція це $(3x^2)^{-1}$
зовнішня: $ ()^{-1}$
внутрішня: $3x^2$
Тепер декілька прикладів для вас.
Визначте зовнішню та внутрішню функції:
6) $\frac{5}{(3x)^3}$
7) $\frac{2}{\sqrt {5x}}$
8) $e^{x^4+2}$
9) $2\cdot ln(2x-10)$
10) $e^{-x}$
Рішення можете перевірити в самому низу.
Тепер ви маєте бути готові знайти похідні.
Декілька прикладів ми вирішимо разом, декілька ви самі.
Визначте зовнішню
та внутрішню функції та знайдіть похідні
12. $3e^{5x^2-8}$
тут ми маємо добуток константи 3 та складеної функції $e^{5x^2-8}.$
Похідною добутку константи та функції є добуток константи та похідної функції,
як ми знаємо з теорії про похідну добутку.
зовнішня: $e^{()}$ та її похідною є сама $e^{()}$ разом з аргументом: $e^{5x^2-8}$
внутрішня: $5x^2-8$ та її похідна $10x$
накінець:
($3\cdot e^{5x^2-8}$)'= $3e^{5x^2-8}\cdot 10x=30xe^{5x^2-8}$
Тепер ви:
11) $2e^{3x^5-x+1}$
12) $10e^{x^5-2x^4}$
Відповіді внизу.
Продовжимо разом:
13. $\frac{10}{(6x)^4}$
Рішення:
$\frac{10}{(6x)^4}=10\cdot (6x)^{-4}$
зовнішня: $()^{-4}$ та її похідна: $-4\cdot (6x)^{-5}$
внутрішня: $ 6x$ та її похідна 6
накінець:
$\Big(\frac{10}{(6x)^4}\Big)$'= $10\cdot (-4)\cdot (6x)^{-5}\cdot 6=-240\cdot (6x)^{-5} $
- де ми помножили на константу 10
14. $cos(sin(x))$
зовнішня: $cos()$ та її похідна : $-sin()$
підставляючи аргумент: $-sin(sin(x))$
внутрішня: $ sin(x)$ та її похідна $cos(x)$
і похідна як добуток похідної зовнішньої та внутрішньої функцій:
$(cos(sin(x)))'$=$ -sin(sin(x))\cdot cos(x) $
15. $ln(\frac{1}{x})$
зовнішня: $ln()$ та похідна: $\frac{1}{x}$,
але за x в $\frac{1}{x}$ нам треба підставити аргумент функції $ln(\frac{1}{x})$:
$\frac{1}{\mathbf{\frac{1}{x}}}=x$
внутрішня: $\frac{1}{x}=x^{-1} $, та її похідна: $-x^{-2}$
відповідь:
$ln(\frac{1}{x})'$=$ x\cdot (-x^{-2})=-x^{-1} $
тепер ваша черга:
13) $\frac{11}{ln(x)}$
14) $sin(cos(x))$
15) $ln(sin(x))$
Перевірити Відповіді.
Кінець першого кроку
В другому кроці ви будете знаходити похідні
складених функцій з декількома внутрішніми функціями, наприклад
$ln(cos(x^2))$. Як ви думаєте, які дві функції є внутрішніми, а яка зовнішньою?