Σ Знак суми
Правила 🡆

Знак суми $\Sigma$ Сигма | Ні стражданням

Давайте подивимося на красу знаку сигма $\sum$! Якщо нам буде дуже терміново потрібно :)) записати суму чисел від одного до 1000, писати:

Давайте вирішимо декілька прикладів разом а потім ви самі:

Приклад 1:

$ \sum_{\color{red}{i=1}} ^{\color{red}{5}}{\color{#1299e7}{\textit{i}}} = ?$

Рішення: в i ми підставляємо числа від 1 до 5 і додаємо їх: $ \sum_{i=1} ^{5}{{\textit{i}}} =1+2+3+4+5=15$

Рішення: в i ми підставляємо числа від 1 до 5 і додаємо їх:

$ \sum_{i=1} ^{5}{{\textit{i}}} =1+2+3+4+5=\\=15$

Приклад 2:

$ \sum_{\color{red}{i=1}} ^{\color{red}{3}}{\color{#1299e7}{2\cdot i}} =?$

Рішення: множимо кожне число від одного до трьох на два і додаємо: $ \sum_{i=1} ^{3}{\color{blue}{2}\cdot i} =\color{blue}{2}\cdot1+\color{blue}{2}\cdot2+\color{blue}{2}\cdot3=12$

Рішення: множимо кожне число від одного до трьох на два і додаємо:

$ \sum_{i=1} ^{3}{\color{blue}{2}\cdot i} =\color{blue}{2}\cdot1+\color{blue}{2}\cdot2+\\+\color{blue}{2}\cdot3=12$

Приклад коли нижня межа не дорівнює 1:

Приклад 3:

$ \sum_{\color{red}{i=7}} ^{\color{red}{10}}{\color{#1299e7}{\frac{1}{i}}} =?$

Рішення: підставляємо числа від 7 до 10 і додаємо вирази:

$ \sum_{i=7} ^{10}{\frac{1}{i}} =\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}\approx\\ \approx 0.48$

Приклад 4:

$ \sum_{\color{red}{i=3}} ^{\color{red}{5}}{\color{#1299e7}{i-2}} =?$

Рішення: від кожного i віднімаємо 2 і додаємо:

$ \sum_{i=3} ^{5}{i-2} =(3-2)+(4-2)+\\+(5-2) =5$

Приклад 5:

$ \sum_{\color{red}{i=8}} ^{\color{red}{9}}{\color{#1299e7}{\frac{(-1)^{i}}{i-1}}} =?$

Рішення: просто підставляємо за i і додаємо
$ \sum_{\color{red}{i=8}} ^{\color{red}{9}}{\color{#1299e7}{\frac{(-1)^{i}}{i-1}}} =\frac{(-1)^8}{8-1}+\frac{(-1)^9}{9-1}=\\ =\frac{1}{7}+\frac{(-1)}{8}\approx 0.018 $

Тепер ваша черга!
Розпишіть і порахуйте суму: (звірити рішення можете внизу):

Суму записують також так:

Порахуємо декілька прикладів разом:

Приклад 6:

Нехай $ x_1=10, x_2=-3, x_3=4, $ $x_4=6.$ Знайдіть суму:

$a) \sum_{\color{red}{i=1}} ^{\color{red}{3}}{\color{#1299e7}{\textit{$x_i$}}} = ?$

$b) \sum_{\color{red}{i=2}} ^{\color{red}{4}}{\color{#1299e7}{\textit{$i\cdot x_i$}}} = ?$

Рішення:

a) $\sum_{\color{red}{i=1}} ^{\color{red}{3}}{\color{#1299e7}{\textit{$x_i$}}} = 10-3+4=11 $

b) Всюди, де є i ми підставляємо числа від 2 до 4 включно і додаємо:

$\sum_{\color{red}{i=2}} ^{\color{red}{4}}{\color{#1299e7}{\textit{$i\cdot x_i$}}} = 2\cdot x_2+3\cdot x_3+ \\ +4\cdot x_4=\\ =2\cdot (-3)+3\cdot 4+4\cdot 6=30 $

І ще один спосіб запису за допомогою знаку суми:

\[ \sum_{\color{#1299e7} {x \in X} } \color{#1299e7} {x} \]

- означає, що ми додаємо всі x, які належать (знак "$\in$") до множини X.
Наприклад якщо x $\in \{1,7,12,9\}$, тоді ми додаємо всі числа з цієї множини:

\[ \sum_{\color{#1299e7} {x \in X} } \color{#1299e7} {x}= 1+7+12+9=\\=29 \]

Приклад 7:

Нехай $ X=\{2,12,15\}$ Знайдіть суму:

$a) \sum_{x \in X} 3x+1 = ?$

$b) \sum_{x \in X} x^2 = ?$

Рішення:

a) $ \sum_{x \in X} 3x+1= (3\cdot 2+1)+\\+(3\cdot 12+1) +(3\cdot 15+1)=\\ =7+37+46=90$

b) приклад для вас, перевірити рішення можете внизу (Приклад 8)

Запишіть послідовність за допомогою знаку суми

Тепер обернена задача - записати суму використовуючи знак $\sum$.

Наприклад найпростіший випадок 1+2+3+4 можемо записати так:
$\sum_{i=1}^4 i$

Зверніть увагу, сума не мусить обов'язково починатися з і=1. Нижня межа може бути наприклад 0, чи будь-яким іншим числом. Але тоді вираз біля суми мусить бути зміненим так, щоб ми отримали нашу послідовність 1+2+3+4. Якщо нижня межа буде 0, тоді сума виглядатиме так:
$\sum_{i=0}^3 i+1$. (Перевірте)

---

Чи 10+11+12 можемо записати:
$\sum _{10}^{12} i$

Як би ви записали за допомогою знаку суми: 15+16+...+21? (відповідь внизу, приклад 9)

Якщо нам треба записати 2+4+6+8+10? Тут потрібно щоб коли і=1 перше число було 2, коли і=2 друге число було 4 ітд....тобто:
$\sum _{i=1}^{5} 2i$

Як би ви записали: 3+6+9+12? (відповідь внизу, приклад 10)

Чи $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$ ?
(відповідь внизу, приклад 11)

І останні 2 приклади. Запишіть за допомогою знаку суми:

Приклад 12 :
(-1)+1+(-1)+1+(-1) ?

Приклад 13
$\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4} ?$

Рішення